private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
{
    listBox1.Items.Add("りんご"); //リストボックスにアイテムを追加する。
    listBox1.Items.Add("バナナ");
    listBox1.Items.Add("メロン");
}

private void listBox1_MouseDown(object sender, MouseEventArgs e)
{
    Point p = Control.MousePosition;
    p = listBox1.PointToClient(p);//マウスの位置をクライアント座標に変換
    int ind = listBox1.IndexFromPoint(p);//マウス下のＬＢのインデックスを得る
    if (ind > -1)
    {
       listBox1.DoDragDrop(listBox1.Items[ind].ToString(), DragDropEffects.Copy);//ドラッグスタート
    }
}

private void listBox2_DragEnter(object sender, DragEventArgs e)
{
    e.Effect = DragDropEffects.Copy;//ドラッグ＆ドロップの効果を、コピーに設定
}

private void listBox2_DragDrop(object sender, DragEventArgs e)
{
    string str = e.Data.GetData(DataFormats.Text).ToString();
    listBox2.Items.Add(str);
}